Wenn du Funktionen ableitest, ist es erforderlich, dass du die Formalien beachtest. Mit deren Hilfe kommst du auf das richtige Ergebnis, um Ableitungen berechnen zu können.
Die wichtige Regeln für Ableitungen
Wir haben für dich die wichtigsten Ableitungsregeln mit Erklärung und Beispielen in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst.
| Ableitungsart | Definition | Schema & Beispiel |
| Ableitung einer Konstanten | Bei der Differenzierung einer Konstanten erhältst du 0, unabhängig von ihrem Wert. |
\(f(x) = C\)
\(f'(x) = 0\)
\(f(x) = 6\) \(f'(x) = 0\) |
| Ableitung von x | Bei der Ableitung von x erhältst du den Wert 1 (dementsprechend ist die zweite Ableitung 0). |
\(f(x) = x\)
\(f'(x) = 1\)
\([f“(x) = 0]\) |
| Faktorregel |
Bei der Kombination einer Konstanten und x wendest du die Faktorregel an. Dies bedeutet, dass du die Konstante mit der Ableitung der Funktion x multiplizierst. |
\(f(x) = C\cdot f(x)\)
\(f'(x) = C\cdot f'(x)\)
\(f(x) = 2\cdot x \) \(f'(x) = 2\cdot (x)’= 2\cdot 1 = 2\) |
| Summenregel | Eine Summe differenzierst du, indem du die jeweiligen Ableitungen der Summanden addierst. |
\(f(x) = g(x) + h(x)\)
\(f'(x) = g'(x) + h'(x)\)
\(f(x) = 6x + 4x + 2\) \(f'(x) = 6 + 4 + 0 = 10\) |
| Differenzregel | Eine Differenz leitest du ab, indem du die jeweiligen Ableitungen der einzelnen Funktionen voneinander abziehst. |
\(f(x) = g(x) – h(x)\)
\(f'(x) = g'(x) – h'(x)\)
\(f(x) = 6x – 4x – 2\) \(f'(x) = 6 – 4 – 0 = 2\) |
| Produktregel |
Die Produktregel ist komplexer, aber nicht komplizierter als die vorangegangenen Ableitungsregeln. Sie stellt eine Kombination aus den bekannten Regeln dar. Hierbei bildest du die Summe aus den Produkten der Ableitung der ersten Funktion und der zweiten Funktion sowie der Ableitung der zweiten Funktion und der ersten Funktion. |
\(f(x) = g(x)\cdot h(x)\)
\(f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)\)
\(f(x) = 2x\cdot 5x\) \(f'(x) = 2\cdot 5x + 2x\cdot 5 = 10x + 10x = 20x\) |
| Kettenregel |
Ähnlich wie die Produktregel funktioniert die Kettenregel. Sie wendest du bei verketteten, sogenannten „verschachtelten“ Funktionen an. Hierfür ist es notwendig, dass du die innere und die äußere Funktion erkennst, um richtig zu differenzieren. Um auf das korrekte Ergebnis zu kommen, benötigst du die Ableitung der äußeren und der inneren Funktion sowie die innere Funktion. Am besten berechnest du alle einzeln und setzt sie in die Formel ein. Die Formel besteht aus dem Produkt der äußeren Ableitung und der inneren Funktion, das mit der inneren Ableitung multipliziert wird. |
\(f(x) = g(h(x))\)
\(f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x)\)
\(f(x) = (2x(5x))\) \(f'(x) = (2(5x)) \cdot 5 = 10x \cdot 5 = 50x\) |
| Quotientenregel |
Die Quotientenregel wendest du bei rationalen Zahlen, also bei Brüchen an. Sie wirkt komplexer als die vorherigen Regeln, lässt sich aber deutlich „entschärfen“, wenn du Zähler und Nenner separat differenzierst. Dann setzt du sie an den richtigen Stellen in die Formel ein. Die Ableitung eines Bruches berechnest du aus der Differenz des Produktes der Funktion des Nenners und der Ableitung des Zählers sowie dem Produkt der Funktion des Zählers und der Ableitung des Nenners. Diese Differenz teilst du durch das Quadrat der Funktion des Nenners. |
\(f(x)=\frac{f(x)}{h(x)}\)
\(f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x) – g(x)\cdot h'(x)}{h^{2}}\)
\(f(x)=\frac{5x}{2x}\) \(f'(x)=\frac{10x\cdot x – 1\cdot 5x}{4x^{2}} = 5\) |
| Potenzregel | Die Potenzregel wendest du bei Potenzfunktionen an. Bei deren Ableitung ziehst du den Exponenten als Koeffizienten vor die Funktion. Den Exponenten reduzierst du außerdem um den Wert 1. |
\(f(x) = x^{n}\)
\(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
\(f(x) = 2x^{3}\) \(f'(x) = 3 \cdot 2x^{2} = 6x^{2}\) |
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