Wir zeigen dir, wie du Integralrechnung einfach und sicher anwendest. Bei der Integration handelt es sich, vereinfacht ausgedrückt, um die Umkehrung der Ableitung. Mittels der Integralrechnung bestimmst du die Stammfunktion F(x), deren Ableitung gleich f(x) ist. Das heißt, dir ist f(x) gegeben und du suchst F(x).[toc]
Voraussetzung, um eine Stammfunktion zu bestimmen, ist, dass F und f einen gemeinsamen Definitionsbereich \(D_{f}\) besitzen, für den gilt: x ∈ \(D_{f}\).
Es gibt zwei Arten: das unbestimmte (uneigentliche) und das bestimmte (endliche) Integral.
Das unbestimmte Integral
Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f.
\(\int_{}^{} f(x) dx = \left\{F(x)|F'(x) = f(x)\right\} = F(x) + C\)Existiert eine Stammfunktion von f(x), so existieren unendlich viele Stammfunktionen von f(x). Denn bildest du eine Stammfunktion, ist diese stets F(x) + C. Das heißt, es existiert auch F(x) – C, F(x) + 2C, F(x) – 2C usw.
Beispiel
\(f(x) = x^{4}\) \(\int_{}^{} f(x) = F_{1}(x) = \frac{1}{5}\cdot x^{5} + C\) \(\int_{}^{} f(x) dx = F_{2}(x) = \frac{1}{5}\cdot x^{5} – C\)Das bestimmte Integral
Ein bestimmtes Integral verwendest du, um die Fläche A unterhalb eines Funktionsgraphen in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] zu ermitteln.
\(\int_{a}^{b} f(x) dx = A\)Wobei A der Fläche entspricht, die der Graph der Funktion f, die x-Achse sowie die beiden Geraden a und b einschließen. a entspricht dabei der unteren und b der oberen Integrationsgrenze.
Wie du siehst, erhältst du bei einem unbestimmten Integral mehr als eine Stammfunktion. Bei einem endlichen Integral hingegen erhältst du eine bestimmte Stammfunktion. Dies liegt daran, dass das bestimmte Integral nur für die festgelegten Werte a und b gilt, während ein unbestimmtes Integral für eine Funktion steht.
Beachte, dass unbestimmte Integrale positive und negative Werte annehmen, während eigentliche Integrale nur positive Werte besitzen.
Berechnung der verschiedenen Integraltypen:
Unbestimmtes Integral: Du bestimmst die Stammfunktionen + die Konstante C.
Bestimmtes Integral: Du bestimmst die Stammfunktion, setzt die oberen und unteren Grenzen ein und ziehst die beiden voneinander ab:
Beachte dabei, dass du stets die untere Grenze von der oberen abziehst.
Beispiel
\(f(x) = x^{4} dx\) \(\int_{1}^{2}f(x) = F_{1}(x) = \frac{1}{5}\cdot 2^{5} – \frac{1}{5}\cdot 1^{5} = \frac{32}{5} – \frac{1}{5} = \frac{31}{5} = 6\frac{1}{5} + C\)Bei der Integration gibt es wie bei der Differenzierung einige Regeln, die dir die Arbeit erleichtern.
Potenzregel
\(\int_{}^{} x\cdot n dx = \frac{1}{n + 1}\cdot (x^{n + 1}) + C\)[wobei gilt: n ∈ Z und n ≠ –1, wobei x alle Werte außer 0 annehmen darf]
C ∈ R
Für n = – 1 gilt:
\(\int_{}^{} x -1 dx = \int_{}^{}\frac{1}{x} dx = ln |x| + C\)
C ∈ R
Erweiterte Potenzregel
Die erweiterte Potenzregel gilt für alle reellen Zahlen, wobei x größer 0 sein muss.
\(\int_{}^{} x\cdot q dx \) = \(\frac{1}{q + 1} \cdot (x^{q + 1}) + C\)
Faktorregel
\(\int_{}^{}k\cdot f(x) dx = k\cdot \int_{}^{} f(x) dx \) (k ∈ R)
Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren konstant.
Summenregel
\(\int_{}^{} [f(x) + g(x)] dx =\) \(\int_{}^{} f(x) dx + \int_{}^{} g(x) dx\)
\(\int_{}^{} [f(x) – g(x)] dx =\) \(\int_{}^{} f(x) dx – \int_{}^{} g(x) dx\)
Wichtige Stammfunktionen
Um dir das Integrieren zu erleichtern, ist es hilfreich, wenn du die nachfolgenden Stammfunktionen kennst.
| f(x) | F(x) |
| \(a\) | \(a\cdot x + C\) |
| \(x^{n}\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln |x| + C\) |
| \(a^{x}\) | \(\frac{a^{x}}{\ln a} + C\) |
| \(\ln x\) | \(x \cdot \ln x – x + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(– \ln |cos x| + C\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x} + C\) |
