In der 8. Klasse lernst du, unabhängig von der Schulart, binomische Formeln. Auf den ersten Blick wirken sie anspruchsvoll und du verstehst nicht, warum sie dir das Leben mit der Mathematik erleichtern.
[toc]
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln sind ein gutes Hilfsmittel für dich, um Funktionen mit Klammern und Potenzen zu lösen. Hast du den Ablauf verstanden, kannst du das Muster auf viele andere Funktionen übertragen. Die Gefahr, dass du dich beim Lösen quadratischer Funktionen verrechnest oder einen Teil übersiehst, minimierst du dadurch. Wer will auf diesen Vorteil verzichten?
Nachfolgend erklären wir dir die drei binomischen Formeln ausführlich mit Rechenweg, sodass du jeden Schritt nachvollziehen kannst.
1. binomische Formel
| \(a + b^{2} = (a + b)\cdot (a + b) = a\cdot (a + b) + b\cdot (a + b) = a^{2} + a\cdot b + b\cdot a + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) |
Beim Auflösen der Klammern nutzt du das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Durch das Quadrat multiplizierst du sowohl a als auch b jeweils mit der gesamten Summe a + b. Das Distributivgesetz besagt, dass du den Faktor vor einer Klammer stets mit jedem Faktor aus der Klammer einzeln multiplizierst. Somit multiplizierst du a jeweils mit a und mit b und b jeweils mit a und mit b. Dadurch wird dir klar, woher ab und ba im dritten Schritt kommen.
Nach dem Kommutativgesetz gilt ab + ba = 2ab. Dies liegt daran, dass es bei Summen und Produkten irrelevant ist, in welcher Reihenfolge du die einzelnen Summanden beziehungsweise Faktoren schreibst. Aber Vorsicht! Verwende das Gesetz nicht bei der Division und Subtraktion!
Auf Grundlage der beiden Gesetze ergibt sich die ausmultiplizierte Klammer a² + 2ab + b². Am besten ist es, wenn du die ausführliche Lösung übst, um ein besseres Verständnis für die Formel zu entwickeln. Ein reines „Auswendiglernen“ der Ergebnisse bereitet dir Schwierigkeiten, weil nicht jede Funktion dadurch zu lösen ist. Somit ist es sinnvoll, wenn du den ausführlichen Rechenweg nimmst, um zum richtigen Ergebnis zu gelangen.
2. binomische Formel
Die zweite binomische Formel unterscheidet sich von der ersten nur durch ein Minus anstelle des Plus zwischen a und b:
| \((a – b)^{2} = (a – b)\cdot (a – b) = a\cdot (a – b) – b\cdot (a – b) = a^{2} – a\cdot b – b\cdot a + b^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}\) |
Hier verwendest du ebenfalls Distributiv- und Kommutativgesetz. Da ab und ba beides Produkte sind, ist die Reihenfolge der Faktoren nicht von Bedeutung und somit erhältst du –2ab.
3. binomische Formel
Die dritte binomische Formel hat einen anderen Aufbau als die ersten beiden. Zunächst fällt dir auf, dass kein Exponent vorhanden ist. Dies ist logisch, da in den beiden zu multiplizierenden Klammern unterschiedliche Vorzeichen vor dem Faktor b stehen:
| \((a + b)\cdot (a – b) = a\cdot (a – b) + b\cdot (a – b) = a^{2} – a\cdot b + b\cdot a – b^{2} = a^{2} – b^{2}\) |
Wie du in der Herleitung siehst, ist die Lösung der dritten binomischen Formel kürzer als die der ersten beiden. Der Grund dafür ist die Auflösung des Mittelteils aufgrund unterschiedlicher Vorzeichen (er wird also 0 und fällt damit weg).
Was bringen dir die binomischen Formeln? Der größte Nutzen ist, dass du weißt, wie du Funktionen löst, die ähnlich beziehungsweise gleich aufgebaut sind. Vor allem komplexe Funktionen mit vielen Klammern und Exponenten verlieren dadurch für dich ihren Schrecken.
Wie du binomische Formeln anwendest
Finde mit den Übungen von Duden Learnattack heraus, ob du die binomischen Formeln verstehst!
