Beim Integrieren gibt es wie beim Differenzieren einige spezielle Regeln, die das Lösen der Aufgaben beschleunigen. Nachfolgend findest du folgende Integrationsregeln: die Substitutionsregel, die partielle Integration sowie die Partialbruchzerlegung. Am Besten ist es, wenn du die Integrationsregeln auswendig lernst, damit du sie korrekt und sicher anwenden kannst, wenn sie in einer Hausaufgabe oder bei einer Klassenarbeit abgefragt werden.[toc]
Substitutionsregel
Einige Integrale sind komplex aufgebaut und du kannst ihre Stammfunktion nur schwer bestimmen. In diesen Fällen ist es sinnvoll, wenn du Teile der „verschachtelten“ Funktion, etwa Potenzen, durch einen Platzhalter substituierst. Du ersetzt also einen bestehenden Term durch einen anderen, um die Funktion leichter zu lösen.
Das vereinfacht dir die Funktion und du kannst sie integrieren. Zum Schluss resubstituierst du dein Ergebnis und erhältst die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.
Beispiel
Berechne das Integral\(\int_{}^{} 2x\cdot \sqrt{x^{2}-3}dx\)
Um die Wurzel leichter zu integrieren, substituierst du die unter der Wurzel stehende Differenz:
z = \(\sqrt{x^{2}-3}\)
Um die Substitution vollständig durchzuführen, berechnest du die Ableitung von z: z‘ = 2x.
Dein Ansatz lautet:
\(\int_{}^{} 2x\cdot \sqrt{x^{2}-3}dx = \) \(\int_{}^{} 2x\cdot \sqrt{z}\frac{dz}{2x} = \)
\(\int_{}^{} \sqrt{z}dz = \) \(\frac{2}{3}\cdot \sqrt{z^{3}} + C =\)
\(\frac{2}{3}\cdot \sqrt{(x^{2})-3}\cdot 3 + C\)Partielle Integration
Bei der partiellen Integration leitest du einen Teil der Funktion ab, während du vom anderen Teil die Stammfunktion bildest. Du kannst frei wählen, welche der beiden Teilfunktionen du jeweils auf- beziehungsweise ableiten möchtest. Gut ist es, wenn die Ableitung der Teilfunktion dir das Berechnen des Integrals vereinfacht. Mit ein wenig Übung erkennst du schnell, welcher Teil der Funktion das ist. Falls nicht, kannst du jederzeit wieder von vorn beginnen. Übung macht den Meister!
Die Formel für die partielle Integration lautet:
\(\int_{}^{}f'(x)\cdot g(x) dx = f(x)\cdot g(x) – \int_{}^{}f(x)\cdot g'(x) dx\)Beispiel:
\(\int_{0}^{1}x^{2}\cdot e^{x} dx = \)Jetzt setzt du f(x) = \(e^{x}\) und g(x) = \(x^{2}\)
f'(x) = \(e^{x}\) und g'(x) = 2x
Nun setzt du deine Ergebnisse in die obige Formel ein:
\(\int_{0}^{1} x^{2}\cdot e^{x} =\)\([x^{2}\cdot e^{x} – 2x\cdot e^{x} + 2e^{x}]_0^1 \) = e – 2 ≈ 0,718
Partialbruchzerlegung
Steht im Integral ein Bruch, so kannst du ihn durch die Zerlegung in Partialbrüche vereinfachen. Die Funktion des Nenners teilst du dabei sinnvoll auf die Teilbrüche auf und bestimmst mittels Koeffizientenvergleich die jeweiligen Zähler.
Beachte: Ist der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners, führst du eine Polynomdivision durch, bevor du die Partialbruchzerlegung vornimmst.
Beispiel
\(\int_{}^{} \frac{5x – 17}{((x – 3)(x – 5))}\)In diesem Fall ist die Partialbruchzerlegung des Nenners einfach, da du sie direkt aus der Aufgabenstellung ablesen kannst.
\(\int_{}^{} \frac{5x – 17}{((x – 3)(x – 5))}\) = \(\frac{A}{x – 3} + \frac{B}{x – 5}\)
Nun bestimmst du die beiden Werte A und B. Hierfür stellst du ein lineares Gleichungssystem auf, wobei du A und B jeweils mit dem Nenner des anderen Teilbruchs multiplizierst.
\(5x – 17 = A\cdot (x – 5) + B\cdot (x – 3)\)Jetzt setzt du die Nullstellen der beiden Nenner für x ein.
x1 = 3
\(5\cdot 3 – 17 = 3A – 5A\) [B wird hier 0]
-2 = -2A → A = 1
x2 = 5
\(5\cdot 5 – 17 = 5B – 3B\) [A wird hier 0]
8 = 2B → B = 4
Nun kannst du die Werte in das Integral einsetzen und es berechnen.
\(\int_{}^{} \frac{5x – 17}{(x – 3)(x – 5)} dx =\) \(\int_{}^{} \frac{1}{x – 3} dx = \) \(1 \cdot ln |x – 3| + 4 \cdot ln |x – 5| + C\)Die Stammfunktion eines Bruches ist stets der natürliche Logarithmus des Nenners in Betragsstrichen. Den Zähler ziehst du beim Integrieren jeweils vor den Logarithmus.
Wir hoffen, dass du die Integrationsregeln verstanden hast und nun ganz einfach anwenden kannst. Falls du dir doch noch unsicher bist, schau am Besten auf Learnattack.de vorbei und informier dich dort über die wichtigsten Integrationsregeln und allem, was dazu gehört.
